На доске написаны числа от 1 до 15.можно стереть любые два числа а и b и записать число a+b-2.какое...

Данный вопрос относится скорее к области математической логики, но разберём его подробно.

Условие задачи:

На доске написаны числа от 1 до 15. Можно выбрать любые два числа (a) и (b), стереть их и вместо них записать число (a + b - 2). Вопрос: какое число останется на доске в итоге после выполнения всех возможных операций?

Решение:

1. Общее количество чисел уменьшается на 1 при каждой операции:

   • В начале на доске 15 чисел.
   • При каждой операции мы стираем два числа и записываем одно новое. Таким образом, общее количество чисел уменьшается на 1.
   • После 14 операций на доске останется только одно число.

2. Попробуем понять, как изменяется сумма чисел:

   • В начале сумма всех чисел от 1 до 15 равна (S = 1 + 2 + 3 + \dots + 15).
   • Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
     [ S = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2}, ] где (n) — количество членов прогрессии, (a_1) — первый член, (a_n) — последний член. Для нашего случая: [ S = \frac{15 \cdot (1 + 15)}{2} = \frac{15 \cdot 16}{2} = 120. ] Значит, начальная сумма чисел равна 120.

3. Как влияет операция на сумму?

   • При каждой операции мы берём два числа (a) и (b), стираем их и записываем новое число (a + b - 2).
   • Изменение суммы чисел при этой операции: [ (a + b - 2) - (a + b) = -2. ] То есть, при каждой операции сумма всех чисел уменьшается на 2.

4. Сколько операций будет выполнено?

   • Всего на доске 15 чисел, и после каждой операции их количество уменьшается на 1.
   • Для того чтобы осталось одно число, необходимо выполнить (15 - 1 = 14) операций.

5. Общее уменьшение суммы:

   • При каждой операции сумма уменьшается на 2.
   • За 14 операций сумма уменьшится на (14 \cdot 2 = 28).

6. Итоговое число:

   • Начальная сумма чисел равна 120.
   • После 14 операций сумма уменьшится на 28.
   • Следовательно, оставшееся число на доске будет равно: [ 120 - 28 = 92. ]

Ответ:

После выполнения всех операций на доске останется число 92.

Задача заключается в том, чтобы выяснить, какое число останется на доске после многократного выполнения операции стирания двух чисел (a) и (b) и записи нового числа (a + b - 2).

Для решения этой задачи полезно обратить внимание на то, как изменяется сумма чисел на доске после каждой операции.

Изначально на доске у нас числа от 1 до 15. Сумма этих чисел может быть вычислена по формуле суммы арифметической прогрессии:

[ S = \frac{n(n + 1)}{2} ]

где (n) — это последнее число в последовательности. В нашем случае (n = 15):

[ S = \frac{15(15 + 1)}{2} = \frac{15 \times 16}{2} = 120 ]

Теперь давайте проанализируем, как изменяется сумма при выполнении операции. Когда мы стираем два числа (a) и (b), их сумма (a + b) уходит, и вместо них на доске остаётся число (a + b - 2). Таким образом, изменение суммы можно выразить следующим образом:

[ \text{новая сумма} = \text{старая сумма} - (a + b) + (a + b - 2) = \text{старая сумма} - 2 ]

Следовательно, каждый раз, когда мы выполняем операцию, сумма всех чисел на доске уменьшается на 2.

Теперь давайте определим, сколько раз мы можем выполнить данную операцию. Поскольку на доске изначально 15 чисел, и с каждой операцией количество чисел уменьшается на 1, мы можем выполнить операцию 14 раз (так как после 14 операций на доске останется только одно число).

Каждая операция уменьшает сумму на 2, и, следовательно, после 14 операций сумма уменьшится на:

[ 2 \times 14 = 28 ]

Таким образом, новая сумма будет равна:

[ 120 - 28 = 92 ]

На доске останется одно число, которое будет равно 92.

Таким образом, ответ на задачу: в итоге на доске останется число 92.

В результате данной операции получится число 1. Это происходит потому, что при каждом шаге сумма всех чисел уменьшается на 2, а количество чисел уменьшается на 1. В конечном итоге останется одно число, и оно будет равно 1.